高等数学

一、函数与极限

1.映射与函数

映射

映射

X、Y非空集合，法则f，对X中每个元素x,唯一的y与之对应。

f叫映射，f:X->Y X:原像,Y:像

X:定义域,记作Df (Domain)

y:值域 记作Rf(Range)

映射三要素：

1.X、f、Rf

2.x属于X,对应的y是唯一的,Rf包含于Y但不一定等于Y

映射的分类

满射：Rf等于Y

单射:不允许两个x对应同一个y，x1!=x2,则f(x1)!=f(x2)

一一映射：即是单射也是满射

逆映射:假设f:X->Y是单射,每个y属于Rf,有唯一的x属于X，满足f(x)=y,g:Rf->x ,D(f^-1)=Rf R(f^-1)=X。

只有单射才有逆映射.

复合映射：g：X->Y1,f:Y2->Z

Y1包含于Y2 ，x属于X ，f[g(x)]属于Z

f o g:X->Z,Rg包含于Df

函数

函数

Df包含于R(实数集)，f:Df->R,y=f(x),x属于D

x:自变量,y:因变量,Df:定义域:Rf:值域,Rf=f(D)

f:代表规则 ==== f(x):函数值

两要素:Df、f

函数表示的三种方法：表格法，图形法，解析法(公式)

符号函数：y=sgn x ,x>0 y=1,x=0 y=0,x<0 y=-1

x=sgn x * |x|

[x]:不超过x的最大整数,[3.1]=3,[-1.6]=-2

函数的几种特性

1.有界性(上界、下界、有界)

有界:存在正数M,|f(x)|<=M

无界:任意正数M,都存在x1属于x,|f(x1)|>M

有界=既有上界也有下界

2.单调性

x1<x2 f(x1)<f(x2)

x1<x2 f(x1)>f(x2)

3.奇偶性

D关于原点对称

f(-x)=f(x) 偶

f(-x)=-f(x) 奇

4.周期性

存在正数L,f(x+L)=f(x)

最小周期:y=sin x 周期为2Π

并非每个周期函数都有最小周期

函数:

D(x)={ [1 x属于Q|0 x属于Qc]

1.任何正有理数R都是周期(有理数+有理数=有理数,无理数+有理数=无理数)

2.不存在最小的正有理数作为周期

反函数

函数必须单射,f^-1:f(D)->D

f是个单调、单射函数，f^-1反函数必定存在

f的单调性等于f的反函数单调性

f和f倒关于y=x对称

复合函数

y=f(t),t=g(x),则y=f(g(x))

函数运算

1.函数f(x),g(x),定义域Df,Dg,则D=Df交集Dg不等于空集

2.f+/-g(x)=f(x) +/- g(x)

3.f*g(x)=f(x) * g(x)

4.(f/g)(x)=f(x)/g(x) (g(x)不等于0)

初等函数

有限次的运算，有限次的复合是初等函数

1.幂函数 y=x^m

2.指数函数 y=a^x

3.对数函数 y=loga^x

loge^x=ln x ,log10^x=lg x

e^x 和ln x

4.三角函数

5.反三角函数

数列极限的定义

数列：x1,x2,x3,x4…xn 通项{xn}

数列极限: 设{xn}是数列，任何e(任意小的距离)>0,都存在N（正整数,某项）,使得n>N(这项后头所有项)时 |xn-a|<e(落在小区域的里头),a是极限

收敛数列的性质：

发散数列：没有极限

1.收敛数列极限唯一

2.有极限，一定是有界的。有界不一定收敛

3.收敛数列具有保号性，e>0 xn>0,e<0 xn<0

4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限